柯西不等式定理公式和应用技巧
来源：jrjao 作者：王教员 发布时间：2025-08-10 08:04:56 点击量：1742
柯西不等式，又称柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式(Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)，是柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。该不等式被认为是最重要的数学不等式之一， 在线性代数、数学分析等多个领域都有着广泛的应用。
一、柯西不等式的定理和应用技巧
1、二维形式的柯西不等式
定理1：（二维形式的柯西不等式）若$a,b,c,d$都是实数，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$，当且仅当时，$ad=bc$时等号成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设$boldsymbol alpha,boldsymbol beta$是两个向量，则$|boldsymbol alpha·boldsymbol beta|≤|boldsymbol alpha||boldsymbol beta|$，当且仅当$boldsymbol beta$是零向量，或存在实数$k$，使$boldsymbol alpha=kboldsymbol beta$时，等号成立。
定理3：（二维形式的三角不等式）设$x_1,y_1,x_2,y_2in mathbf{R}$，那么$sqrt{x^2_1+y^2_1}+sqrt{x^2_2+y^2_2}$$geqslant$$sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
在定理3中，用$x_1-x_3$代$x_1$，用$y_1-y_3$代$y_1$，用$x_2-x_3$代$x_2$，用$y_2-y_3$代$y_2$可得平面三角不等式：$sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$+$sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$≥$sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
2、一般形式的柯西不等式
定理：（一般形式的柯西不等式）设$a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,b_1,b_2,b_3,cdots,b_n$是实数，则$(a^2_1+a^2_2+cdots+a^2_n)(b^2_1+b^2_2+cdots+b^2_n)$≥$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2$，当且仅当$b_i=0(i=1,2,cdots,n)$或存在一个数$k$，使得$a_i=kb_i(i=1,2,cdots,n)$时，等号成立。
3、柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的主要应用是证明不等式和求最值，利用柯西不等式证明不等式时，先使用拆项、重组、填项等方法技巧构造符合柯西不等式的应用条件，再处理；利用柯西不等式求最值时，一定要注意验证等号成立的条件。
构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数，可以重新安排各项的次序，可以填项，也可以改变式子的结构。
二、柯西不等式的相关例题
设$a,b,m,n∈mathbf{R}$,且$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，则$sqrt{m^2+n^2}$的最小值为___
A．$sqrt{5}$ B．$sqrt{6}$ C．$sqrt{3}$ D．2$sqrt{2}$
答案：A
解析：因为$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，所以由柯西不等式得$(a^2+b^2)(m^2 +n^2)≥( ma +nb)^2$，于是$5(m^2 +n^2)≥5^2$，故$sqrt{m^2+n^2}≥sqrt{5}$，当且仅当$begin{cases}frac{a}{m}=frac{b}{n},\a^2+b^2=5,\ma+nb=5,\m^2+n^2=5end{cases}$$Leftrightarrow a=m,n=b$时,等号成立，所以$sqrt{m^2+n^2}$的最小值为$sqrt{5}$。
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我是首都师范大学英语师范专业的本硕连读学生。我对英语以及史地政三大文科有着浓厚的兴趣，未来想成为一名优秀教师。我初中的时候担任英语课代表，高中担任政治课代表，高考英语132，文综243，其中政治88 ，考研也顺利超过本校录取分数线15分。对于英语和史地政三大文科有着自己的一套独特的学习方法。以前在北京市第三十五中学实习，教初二英语，史地政三科也曾有过相关一对一家教的经历。
2018.9～2019.1，辅导高三学生英语，成绩从90分左右提高到120分以上。2019.3～2020.6，辅导初三学生政治，最终
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